Category Archives: Cursos Abiertos

#reAprender Radio: Episodio 3: Participación abierta

El tercer episodio de esta serie, cuyo tema global son las prácticas educativas abiertas, está enfocado en la participación en cursos abiertos.  En conjunto con Daniel Jimenez (twitter|blog) y Andrés Chiappe (twitter|blog), conversamos acerca de qué significa participar en un curso abierto distribuido, a partir de las experiencias que hemos tenido en diversos cursos.

Entre los temas generales abordados en el episodio se encuentran quñe ha significado para nosotros participar en abierto (3:40), qué papel juega el compromiso y la responsabilidad frente a un grupo ( 7:52) lo que lleva a discutir diferentes formas de participar en abierto (11:20) y a descubrir que, aunque el ‘cumplimiento’ es nuestro paradigma habitual en cuanto a participación y aprendizaje (19:30), podemos pensar en metáforas poderosas para nuevos paradigmas, en donde cada persona crea sus propios caminos (24:50).

Por primera vez, tuvimos un interemedio musical (que salió muy bien!!), aprovechando que estábamos cerca de la Navidad. Incluimos música de CaTosh und MagiC N (Stille Nacht, Heilige Nacht) y Fatblueman (Kiyoshi Kono Yoru), y en la segunda parte conversamos sobre algunas habilidades importantes para la participación en cursos abiertos (43:00), la importancia de la empatía y la confianza (56:00), la necesidad de reconsiderar en dónde está y quién tiene el control en la experiencia de aprendizaje (1:07:34).  Terminamos con una corta discusión respecto a si las habilidades necesarias son un prerrequisito, o algo que se desarrolla en la experiencia misma de aprendizaje (1:15:06).

Un montón de cosas que abren nuevas preguntas y que empiezan a traer temas recurrentes como el control y la diversidad (e incluso ausencia) de expectativas.

Así que aquí está el Episodio 3 de Radio reAprender:

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La próxima emisión de reAprender Radio, que estará dedicada al tema de la enseñanza abierta, se llevará a cabo el próximo jueves 19 de Enero de 2012, a las 16:00 de Bogotá / 19:00 de Rio de Janeiro / 22:00 España. En este episodio tendremos como invitada a Luz Pearson, quien ha facilitado algunos cursos abiertos en línea y cuenta con una perspectiva de primera mano respecto a lo que esta labor significa.

La información de acceso, así como las grabaciones de episodios anteriores se encuentran en la página de reAprender Radio. Para contribuir con sus comentarios respecto a cualquiera de los programas, puede usar el tag #reaprender en Twitter, o nuestro chat permanente.

Están todos invitados!

Introducción al conocimiento conectivo: Fisicalidad

Nueva sección de mi traducción de An introduction to connective knowledge de Stephen Downes, esta vez sobre fisicalidad.   Vamos al grano:

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Una introducción al Conocimiento Conectivo

por Stephen Downes (traducción: Diego Leal)

a. Tipos de conocimiento

b. Interpretación

c. Emergencia

d. Fisicalidad [1]

Por lo general, pensamos en el conocimiento como relacionado con hechos y sobre los hechos, a su vez, como algo basado ​​en una realidad independiente, una realidad física. En consecuencia, es natural para nosotros decir, por ejemplo, que cuando vemos que algo es rojo hay una base física para tal declaración, que incluso si está de por medio alguna interpretación hay algún hecho físico de la materia que hace que una manzana sea roja y no azul.

Ciertamente, si no pensáramos en las cosas de esta manera, nos sería difícil decir algo sobre cualquier cosa. La fisicalidad nos proporciona un sustrato sobre el cual basar nuestras interpretaciones. Es, como diría Kant, una condición necesaria para la posibilidad de la percepción [7]. La fisicalidad nos ofrece, además, un medio de clasificar entre lo que podría ser llamado interpretaciones “correctas” y “percepciones erróneas”, entre la realidad y el espejismo.

No obstante, aunque este puede ser el caso, no hay nada en nuestras interpretaciones que esté inherentemente basado en la realidad física y, por lo tanto, no hay nada que impida nuestra discusión de ellas sin hacer referencia a esta base. De hecho, esto ha sido de enorme utilidad en otros ámbitos. Por ejemplo, a pesar de la base empírica de las matemáticas, es mucho más productivo y útil referirse a la cantidad sin hacer referencia a las entidades físicas que están siendo contadas, o (en otras palabras) pensar en la cantidad en abstracto. Lo mismo puede decirse de la cualidad. Pensar en la cualidad en abstracto lleva a los silogismos de Aristóteles [8] y es la base del razonamiento categórico.

Más aún, entidades no-físicas pueden tener (o ser atribuidas con) las propiedades que están, en sí mismas (en esta teoría), basadas en propiedades físicas. En nuestras ideas y sueños, pensamos en colores vívidos y grandes números. Y las ideas son transferibles. Considere el concepto de “prosa púrpura” [9] – una expresión que, si se aplica literalmente, o es falsa o en ningún caso tiene sentido, pero que sin embargo tiene utilidad y significado importantes.

¿Qué ha de aprenderse de esto? Que las entidades en las diferentes categorías de conocimiento – ya se trate de propiedades o números – no son reales en sí mismas. Cuando hablamos de ‘rojez'[2], no estamos hablando de algo que tiene una existencia concreta e independiente en el mundo sino, más bien, de algo que existe (en cuanto exista realmente) sólo en nuestras propias mentes. Cuando hablamos sobre el número “cuatro”, no estamos describiendo una entidad platónica [10] sino, más bien, nada más que nuestros propios pensamientos o sensaciones.

Eso no los hace menos ‘reales’. Nuestra percepción del color ‘rojo’ es tan real como cualquier fenómeno en el mundo. Se trata simplemente de hacer una distinción entre la percepción, que resulta de un complejo de factores, y la entidad física, que aparentemente la causó.

De manera similar, nuestras interpretaciones de las conexiones es distinta del conjunto real de interacciones que puedan existir en el mundo. Consideremos, por ejemplo, las teorías de conspiración, – la postulación de un conjunto complejo e interrelacionado de personas y acontecimientos que llevan a la conclusión de que alguien está tratando de hacerte daño. Tales teorías, como es notorio, no tienen ninguna base en el mundo físico. Pero sin embargo pueden ser contempladas, y discutidas, y trasmitidas, como si fueran reales. Y la experiencia de una teoría de conspiración puede ser, para quien la percibe, tan real para la persona que tiene la experiencia[3].

Hay una tendencia por parte de los lectores, bien sea al hablar de grillos, o de Shirky hablando acerca de leyes de potencia [11], de representar las conexiones como algo tan “natural” y “real” que simplemente está “ahí afuera” – como si lo que se dice acerca de las redes de conexiones representara una ley inmutable de la naturaleza. Muy por el contrario, nuestra comprensión de la existencia de conexiones y la naturaleza de las redes que forman, es algo que ponemos sobre la mesa, una interpretación de lo que pensamos que es prominente.

Notas y referencias

[1] Physicality, en el original.  Aunque su traducción literal no está aprobada por la RAE, es utilizada en filosofía para referirse a la cualidad de físico (tangible).

[2] Calidad de rojo. Redness en el original (N. del T.)

[3] La confusión gramatical de esta frase proviene del original: “And the experience of a conspiracy theory may be, to the perceiver, every bit as real to the person having the experience” (N. del T.)

[7]   Immanual Kant. 1999. Critique of Pure Reason. Paul Guyer and Allen W. Wood, eds. Cambridge University Press.

[8]   Garth Kemmerling. 2001. Categorical Syllogisms. Philosophy Pages. http://www.philosophypages.com/lg/e08a.htm

[9]   Deb Stover. 2007. The Purple Prose Eater. http://www.debstover.com/purple.html

[10]   James Dye. 2003. Platonic Forms. http://www.niu.edu/~jdye/forms.html

[11]   Clay Shirky. 2003. Power Laws, Weblogs, and Inequality. Clay Shirky’s Writings About the Internet, February 8, 2003. http://www.shirky.com/writings/powerlaw_weblog.html

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Hasta el momento, esta ha sido la sección más retadora para la traducción, empezando por el mismo concepto de fisicalidad.  Siempre queda la duda de si uno está en los dominios del ‘espanglish’, pero la palabra parece ser de uso aceptado.

Una vez más, el texto hace énfasis en recordar que lo que asumimos como ‘real’ está teñido por nuestra misma capacidad perceptual y cognitiva. Además, por las categorías (arbitrarias) que establecemos para referirnos al mundo. De allí el fragmento de Romeo y Julieta que dice “aquello a lo que llamamos rosa, con cualquier otro nombre, tendría un olor igualmente dulce” (o algo así).  El nombre que asignamos a algo nos permite tener un acuerdo sobre aquello a lo que nos referimos, pero no es aquello a lo que nos referimos (o, como lo pondría Korzybski, “el mapa no es el territorio”).

Un detalle importante desde mi perspectiva es que, aunque la abstracción es muy útil en muchos ámbitos (como indica Stephen), en ocasiones se corre el riesgo de que la abstracción empiece a condicionar nuestra mirada del mundo.  Tomemos por ejemplo el modelaje computacional, algo que uno aprende en los primeros semestres como ingeniero de sistemas. El modelo que uno construye (y que más adelante se complementa con técnicas de levantamiento de requerimientos, historias, o lo que sea) no es el mundo real. Lo representa, pero de manera parcial. Nos lo enseñan, y se supone que lo sabemos. No obstante, son recurrentes las historias de errores en la interpretación de los requerimientos y, de primera mano, he visto desarrolladores que empiezan a asumir que el mundo funciona según el modelo que crearon. O, peor aún, que debería funcionar de esa manera, lo que lleva a intensas jornadas de capacitación para que la gente haga de una forma diferente algo que ya hacía.  De allí la popularidad de plataformas como Facebook, que elaboran sobre algo que las personas ya hacían en el mundo real.

Imagine una teoría, por otro lado. En principio, es una construcción conceptual que trata de describir principios del funcionamiento de un aspecto del mundo.  Es un modelo del mundo. Pero a veces termina definiendo nuestra mirada del mundo. Y en consecuencia intentamos  obligar al mundo a coincidir con nuestra teoría, con resultados nefastos. Aunque hay muchos ejemplos a lo largo de la historia (y hoy, obviamente), uno que siempre me ha impactado es el sistema ptolemaico. Esferas dentro de esferas y más esferas para sostener una teoría que, en su supuesto básico (la Tierra está en el centro del Universo) era errónea (Si hay lectores provenientes de ArTIC, el asunto de los mitos  iba justamente en este sentido).

Stephen concluye recordando que esta distinción aplica también para las conexiones, y proponiendo que los fenómenos de acumulación característicos de las leyes de potencias (el principio de Pareto, entre ellas) no son necesariamente un fenómeno natural. Esto va a tener implicaciones importantes a medida que avance el documento.

Y eso es todo por ahora. :-)

Introducción al conocimiento conectivo: Emergencia

Nueva sección de mi traducción de An introduction to connective knowledge de Stephen Downes, esta vez sobre emergencia.   Si tal vez usted está leyendo estos fragmentos y está quedando con dudas abiertas, puede publicarlas en dónde quiera e incluir en los comentarios el enlace a sus apreciaciones.  Para mi, al menos, está siendo un ejercicio de aprendizaje muy interesante el abordar el documento fragmento por fragmento.

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Una introducción al Conocimiento Conectivo

por Stephen Downes

a. Tipos de conocimiento

b. Interpretación

c. Emergencia

La emergencia es un concepto difícil, pero a este punto puedo abordarlo con una caracterización simple: la emergencia es la interpretación aplicada a las conexiones.

Hay dos formas (igualmente válidas) de pensar acerca de esto:

En primer lugar, podemos percibir un conjunto real de conexiones que encadenan a un grupo de entidades como un todo diferenciado. Por ejemplo, cuando cae una ficha de dominó contra otra y así sucesivamente, y observamos esto desde la distancia, podemos ver lo que parece ser una ola que se mueve a través de las fichas. La ola que se observa puede ser llamada un “fenómeno emergente” – no es una propiedad de las piezas de dominó en sí mismas, o incluso de la caída de las fichas, sino de la conectividad [1] de la caída: debido a que una ficha de dominó hace que la siguiente caiga, podemos ver una ola.

En segundo lugar, podemos percibir algo como un todo diferenciado e interpretarlo como un conjunto de conexiones. Por ejemplo, cuando vemos la imagen de Richard Nixon en la televisión no percibimos los píxeles individuales sino, más bien, la imagen de una persona. Pero nuestra inferencia va más allá de simplemente la observación de la persona. Si se nos pregunta, podríamos decir que las apariencias de los píxeles están conectadas entre sí a través del mecanismo de tener un origen común (el propio Richard Nixon) y el mecanismo de transmisión de video.

La emergencia es fundamentalmente el resultado de la interpretación. Como les gusta argumentar a los místicos (y a Spinoza), todo está conectado. En un cierto punto, como dice el viejo refrán, cuando una mariposa bate sus alas en China el resultado es una tormenta en Halifax. Pero las emisoras de Halifax no observan mariposas en China con el fin de predecir el clima, porque esta conexión no será de ninguna utilidad para ellos. Por lo general, observarán eventos un poco más intermedios, en sí mismos propiedades emergentes, tales como las ondas de aire que se mueven a través de la atmósfera (conocidas localmente como “frentes fríos”).

De la misma manera, la observación de conjuntos de conexiones entre entidades depende en gran medida de lo que ya creemos. Es por eso que vemos cisnes en las nubes o caras en Marte cuando, de manera manifiesta no los hay. Hemos traído nuestro conocimiento previo de las entidades relacionadas como base de nuestras interpretaciones de estos fenómenos. Como diría Hume, nuestra “percepción” de una relación causal entre dos eventos es más una cuestión de “hábito y costumbre” que de observación [6].

Notas y referencias

[1] Connectedness en el original (N. del T.)

[6]   David Hume. 1999. An Enquiry Concerning Human Understanding. Tom L. Beauchamp, ed. Oxford.

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Evidentemente, habría mucho más que decir respecto a la emergencia, y se ha dicho de manera recurrente en áreas como la complejidad y los sistemas complejos adaptativos.  En términos sencillos, cuando se dice que “el todo es más que la suma de las partes”, aquellas cosas observables en el todo que no están en las partes son, justamente, los fenómenos emergentes ocasionados por la interacción entre las partes.

Esto se ve a lo largo y ancho de la naturaleza.  Por ejemplo, las reacciones agresivas de bacterias que en cantidades pequeñas son inofensivas es un fenómeno emergente (como lo explica, por ejemplo, la charla TED de Bonnie Bassler).  Lo mismo algunos tipos de bioluminiscencia, o un panal de abejas, o nuestras ciudades, o un sistema como Internet.   Algo interesante de la emergencia es que, a partir de reglas y componentes simples, pueden surgir fenómenos muy complejos (como lo ilustra George Whitesides en otra charla TED).

Pensando en el cerebro, por ejemplo, tome una neurona aislada. No hace mucho. Luego tome billones de ellas conectadas entre sí. ¿Qué resulta? Tal vez uno podría decir que el fenómeno emergente, en este caso, es la conciencia (y si así fuese, uno podría preguntarse si el alma existe o no).  Siguiendo esta lógica y poniéndonos aún más especulativos, ¿qué pasa cuando usted pone juntas muchas conciencias humanas? ¿el inconsciente colectivo al cual se refiere la psicología junguiana? ¿una realidad que excede al individuo y que tal vez no puede ser percibida por él (así como una bacteria no percibe la bioluminiscencia que genera como fenómeno emergente)?  Curiosas posibilidades…

Pero estoy divagando.  Para el caso del documento de Stephen, lo importante es que la emergencia depende del reconocimiento de un conjunto de conexiones y de la interpretación que se hace de él. Lo cual genera un problema interesante, pues si el sujeto no consigue interpretar el fenómeno emergente o no cuenta con los mecanismos que le permitan reconocerlo, este podría tornarse invisible. Si la interacción de los elementos produce emergencia, imaginemos qué ocurre para el caso de los colectivos humanos cuando, por ejemplo, nos referimos a iniciativas de uso de tecnología en el aula (incluyendo las de tipo 1:1). ¿Habrá fenómenos emergentes (producto de nuevas interacciones) que no conseguimos ver?  ¿Cómo estar atentos a ellos? ¿Cómo reconocerlos? ¿Los mecanismos de reconocimiento/valoración son los adecuados?  Sugata Mitra (entre otros) se refiere el aprendizaje como un fenómeno emergente y a la educación como un sistema complejo auto-organizado. Si así es, los instrumentos de reconocimiento y valoración del aprendizaje (del fenómeno emergente) se vuelven cruciales (digo yo). Se torna necesario reflexionar acerca de qué entendemos por aprendizaje.

Como nota interesante y relacionada con el segmento anterior del documento, el reconocimiento de patrones (para ponerlo en términos cercanos a la Gestalt) depende en parte de nuestro conocimiento y expectativas previos. Una vez más, estamos a merced de los vicios perceptuales e interpretativos que se encuentran instalados en nuestro cerebro, y sobre los que pensamos muy poco.  De la misma forma en que estamos entrenados para ver caras (y otras cosas curiosas, como lo muestra Michael Shermer), estamos acostumbrados a esperar ciertos resultados (ciertos patrones).  Queda abierta la pregunta de cómo ‘abrir’ la percepción (¿o la interpretación?) a patrones nuevos o, en otras palabras, qué significa y cómo se produce el aprendizaje desde esta perspectiva de emergencia y conexiones.

 

Introducción al conocimiento conectivo: Interpretación

Sigo con mi traducción de An introduction to connective knowledge de Stephen Downes.  Esta es la segunda sección. Para propósitos de claridad, empezaré a incluir enlaces a las secciones anteriores en cada nuevo post.

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Una introducción al Conocimiento Conectivo

por Stephen Downes

a. Tipos de conocimiento

b. Interpretación

Lo que “sabemos” sobre el mundo es irreductiblemente interpretativo. Es decir, nosotros no obtenemos a través de nuestros sentidos y nuestra cognición ningún tipo de conocimiento directo sobre el mundo sino que, más bien, interpretamos las sensaciones que recibimos. Esto es cierto no sólo para el conocimiento conectivo, sino para los tres tipos de conocimiento.

Considere las cualidades, por ejemplo. Asumimos como básico o atómico (consulte a personas como Ayer [4], por ejemplo) que un enunciado como “esta manzana es roja” representa un hecho puro y sin ajustar. Sin embargo, mirándolo más de cerca vemos cuánto hemos añadido a nuestra sensación original con el fin de llegar a este hecho:

En primer lugar, la manzana en sí misma no tiene ningún color inherente. El color es una propiedad (específicamente, la longitud de onda) de la luz que se refleja de la manzana. Si estuviera bajo una luz de un color diferente, veríamos a la manzana diferente –se ve blanca en luz roja, por ejemplo, o gris en una luz atenuada. Sin embargo, decimos que la manzana es “roja” – estandarizando nuestras descripciones del color para adaptarnos a la luz natural que nos rodea día a día.

En segundo lugar, nuestra percepción de la manzana como “roja” depende de que organicemos nuestros patrones de luz de una determinada manera. Cuando yo era niño, el espectro tenía seis colores – rojo, naranja, amarillo, verde, azul y morado. Como adulto, encontré que un séptimo color – índigo – había sido añadido. No es que un nuevo color comenzó a existir cuando yo tenía veinte años, sino que nuestra nomenclatura cambió. De manera similar, podemos dividir los colores del espectro de muchas formas: “rojo”, por ejemplo, puede incluir tonos tan variados como ‘escarlata’ y ‘cereza’. O ‘#FF0000’.

Y en tercer lugar, cuando decimos que “la manzana es roja” estamos aprovechando nuestra capacidad lingüística previa para usar las palabras ‘manzana’ y ‘rojo’ correctamente y aplicarlas a las circunstancias apropiadas. De hecho, nuestro conocimiento previo a menudo moldea nuestras percepciones: si le mostrara una manzana en una luz tenue, de modo que todo lo que pueda ver sea gris, y le pregunto de qué color es, usted respondería ‘roja’ debido a sus expectativas previas sobre las manzanas y lo rojo.

De forma menos intuitiva, pero igualmente clara, la interpretación se aplica al conocimiento cuantitativo. Es fácil decir que una frase como “hay veinte niños en edad escolar en el patio” es un hecho básico, pero todo depende de cómo se clasifican los escolares. Supongamos que, sin que lo sepamos, uno de los niños acaba de ser expulsado.  ¿Es nuestra afirmación falsa ahora? No de manera obvia. Tal vez uno de ellos tiene más de dieciséis años. ¿Es esta persona todavía un niño (y por lo tanto, está en “edad escolar”)? Depende de su punto de vista.

La cuantificación es esencialmente la enumeración de los miembros de una categoría o conjunto. Por lo tanto, depende fundamentalmente de la forma en la que el conjunto es definido. Pero la pertenencia a un grupo, a su vez, está (normalmente) basada en las propiedades o cualidades de las entidades en cuestión. Así que tal condición de miembro se basa en la interpretación, y por lo tanto, también lo hace el conteo.

Uno podría estar tentado a decir que, aunque las instancias aplicadas del conteo están basadas en la interpretación, las matemáticas en sí no lo están. Pero en mi opinión, esto también sería un error. Por un lado, tal como personas como Mill y Kitcher argumentan [5], la importancia de las reglas de las matemáticas depende de la verificación empírica: decimos que uno más uno es dos, no por un sentido innato de la bondad, sino porque cuando ponemos una oveja junto a otra, observamos que hay dos. Nada más que nuestras observaciones nos impide decir que uno más uno es tres y, en algunos contextos, tal declaración tiene total sentido.

Referencias

[4]   A.J. Ayer. 1952. Language, Truth and Logic. London: Gollancz. Dover Publications; 2nd edition.

[5]   Philip Kitcher. 1985. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford University Press.

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Hay un mensaje muy importante en este fragmento, que no recuerdo haber encontrado de manera contundente en ningún momento de mi formación: no percibimos lo que es, sino lo que interpretamos de lo que percibimos.  Considerando además la cantidad de supuestos automáticos que nuestra percepción usa (por ejemplo, el sentido de profundidad o la unidad de los objetos que percibimos), es inevitable empezar a desconfiar un poco de ella (como recuerdo haberle escuchado a Stephen en alguna de las conversaciones que hemos tenido: cualquier cosa que creemos que el mundo es, no lo es en realidad).

En esta línea, libros como Thinking fast and slow, Predictably IrrationalSway o The Invisible Gorilla abordan en detalle las curiosas formas en las cuales opera nuestro cerebro y nuestra intuición para llegar a conclusiones erróneas y, con frecuencia, ilógicas e irracionales. Lo curioso es que, a pesar de esta realidad, lo que recuerdo haber aprendido en mis años escolares era que, por progresión cronológica, nos encontrábamos en una Era de la Razón y, además, somos seres esencialmente racionales.  Algo interesante es que bien puede ser que este mensaje no fuera explícito (visto en una materia específica), sino que se derivaba de la forma en la cual eran presentadas las diversas disciplinas. Me temo que la experiencia educativa que tuve me convenció de que, en general, las respuestas ya existían y mi misión era simplemente aprenderlas. El lío es que, al no existir posibilidad de crear, el sentido también empieza a desaparecer (digo yo).

Desde hace algún tiempo pienso que aprender un poco más acerca de cómo funciona nuestro cerebro tendría que ser algo esencial para cualquier persona, en especial un docente.  Tal vez eso permitiría comunicar un sentido de humildad y, al mismo tiempo, de asombro por lo que hemos sido capaces de hacer en el mundo a pesar de las limitaciones con las que vivimos. Qué bueno vivir en un estado de asombro…

Creo que la frase de Stephen fue, al final, algo que desencadenó mi pregunta permanente: “¿y si estoy equivocado?”.  Si no puedo confiar por completo en mi percepción ni en mis propios procesos mentales, siempre cabe la posibilidad de estar equivocado.   Y eso significa que, por un lado, debo estar más atento a lo empírico (por ejemplo, ¿coincide mi observación de un joven con lo que se supone que está en capacidad de hacer cuando lo categorizamos como nativo digital?) como base de la inferencia y, por otro, siempre existe la posibilidad de mejorar.

Un último pensamiento: el lenguaje forma y limita nuestro mundo. Y no solemos darnos cuenta de ello. Esto no es una afirmación concluyente, pues es algo que de hecho todavía se debate en el área de la lingüística, sino un pensamiento que tengo que tratar de entender más.  En cualquier caso, lo cierto es que el lenguaje es un instrumento mucho más poderoso de lo que uno, como ciudadano de a pie, imagina cotidianamente (por ejemplo, en la línea de los enunciados performativos de Austin). Es algo que me sorprende y me asombra con frecuencia.

Un último detalle (ahora sí): Un reparo de un comentarista del artículo original es que es posible llegar a la conclusión de que uno más uno es dos sin acudir necesariamente a la verificación empírica, sino a partir de una teoría de conjuntos axiomática. Indica el comentarista: “De acuerdo, una teoría de conjuntos ‘axiomática’ depende de un conjunto de axiomas presupuestos, y el punto de estos axiomas es llegar a una teoría que es empíricamente verificable pero, no obstante, la verificación empírica no es necesaria para argumentar que uno más uno es igual a dos”.  Algo a tener en cuenta.